por El estudio de las Matemáticas constituye un evento sígnico o evento semiótico, como apunta Mauricio Beuchot acerca de la semiótica (Beuchot, Semiótica). Como tal, las Matemáticas poseen una estructura semiótica particular, evidenciada en cada una de las notaciones utilizadas para desarrollar su discurso.
Cada teoría matemática tiene un conjunto propio de signos, de registros de representación semiótica, como les llama Raymond Duval (Duval, 1993) o, como les llamaremos aquí, intercambiándolos con el nombre que les da Duval: representaciones semióticas, registros semióticos, formas semióticas o signos o formas, simplemente. Un registro de representación semiótica o una representación semiótica es un signo que se utiliza para representar un concepto. Cada representación semiótica es un representante de la clase de equivalencia de las representaciones semióticas de un concepto y consideramos que la representación semiótica es el concepto mismo. La relación de equivalencia, sobre el conjunto de conceptos de las matemáticas, que induce la partición de la que hablamos arriba es casi trivial: dadas las representaciones semióticas a y b, a Rel b si a y b representan al concepto P, únicamente sería necesario demostrar la transitividad: si a ~ b y b ~ c entonces a ~ c porque c representa al concepto P. Así, cada concepto matemático genera una partición que contiene a sus representantes semióticos en el conjunto de las teorías matemáticas. Cuando se utilizan conceptos de diferentes teorías matemáticas para considerar otros conceptos o relaciones entre ellos, se llevan al escenario argumental los registros de representación semiótica de cada una de las teorías consideradas. Esto tiene una consecuencia importante en la didáctica de las Matemáticas: hay que conocer los signos (conceptos) usados en cada teoría Matemática. En general, los conjuntos de representaciones semióticas de cada una de las teorías matemáticas se intersectan y la intersección es un subconjunto del conjunto de representantes semióticas de la teoría particular considerada.
Ejemplo 1: En el campo de los números racionales, el concepto tres cuartos tiene una infinidad numerable de representaciones semióticas, cada una dada por un representante de la clase de equivalencia del concepto tres cuartos. Habitualmente se usan cinco representaciones semióticas:
A. La forma dada por la representación numerador-denominador en su forma reducida, con números primos relativos:
\frac{3}{4}
B. La forma decimal:
0.75
C. La forma geométrica, por subdivisión de un rectángulo en partes iguales:
D. En forma de par ordenado:
(3,4)
E. Usando cualquier otro representante en la forma numerador-denominador:
\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=\frac{9}{12}=\frac{12}{16}= etc.
Cada una de estas representaciones es el concepto mismo del número tres cuartos y un signo o forma diferente del mismo.
Ejemplo 2: La función seno se presenta en, al menos, cinco registros de representación semiótica:
A. Funcional:
f(x) = sen (x)
B. Gráfica:
C. Como tabla:
| x | f(x)=senx |
| 0 | 0 |
| π/4 | 1/√2 |
| π/2 | 1 |
| 3π/4 | 1/√2 |
| π | 0 |
| 5π/4 | -1/√2 |
| 6π/4 | -1 |
| 7π/4 | -1/√2 |
| 2π | 0 |
E. Con la función exponencial:
sen(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
E. Como una serie:
sen(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - {...} + ({-1}^{n-1})\frac{z^{2n-1}}{2n-1} + {...}
Estos signos o registros de representación semiótica se transforman de dos maneras diferentes, como apunta Duval (Duval, 1993): por medio de tratamientos que se llevan a cabo en un mismo tipo de representación semiótica y por medio de conversiones que se llevan a cabo entre diferentes representaciones semióticas. A estas dos formas de transformación se les llama, simplemente, transformaciones de los registros de representación semiótica. De forma operativa, las transformaciones se llevan a cabo a través de cadenas algebraicas. Por cadena algebraica entendemos aquí los cálculos que se realizan basándose en las reglas de combinación de términos algebraicos dadas por un campo (números reales, números complejos), un grupo, un anillo, un espacio (lineal, métrico, con producto punto, normado, de Banach, de Hilbert, de medida, topológico, etc.) o las diversas álgebras de conjuntos. Los términos algebraicos son los objetos semióticos o registros de representación semiótica más simples, que más frecuentemente se transforman, basados en cadenas algebraicas, en los razonamientos matemáticos. Los términos algebraicos son los objetos semióticos básicos en prácticamente todas las teorías matemáticas.
La idea más fecunda de los planteamientos de Raymond Duval, después del concepto de registro de representación semiótica, es la de transformación de los registros de representación semiótica.
Las cadenas algebraicas proporcionan la relación básica entre las representaciones semióticas de una clase de equivalencia. Una relación adicional entre registros de representación semiótica es la que se da a través de una cadena argumental o serie de argumentaciones que incluyen cálculos algebraicos o cadenas algebraicas y diversos razonamientos o argumentos.
Es importante señalar que las transformaciones de las representaciones semióticas no necesariamente cambian el significado de la representación semiótica o los conceptos que son representados. Si consideramos esta aseveración detenidamente, podemos ver que la suma de términos algebraicos no altera el significado fundamental de la representación semiótica, ya sea un término o una cadena algebraica. La multiplicación de términos algebraicos sí altera el significado fundamental de la representación semiótica: el concepto x3, multiplicado por el concepto bx5 produce el concepto bx8, este es un término con un significado diferente al correspondiente a cada uno de los dos previos. Los operadores integral y diferencial también cambian el significado de la representación semiótica, la integral del concepto 6x2 es el concepto 2x3, este término es la representación semiótica de un concepto diferente.
Los teoremas de aproximación de funciones como el Teorema de Taylor o de Bernstein y las series de Laurent o la representación de Fourier afirman que la representación de un concepto dado, bajo ciertas restricciones, puede transformarse en una representación nueva mediante la aplicación, bajo las restricciones dadas, de la representación de otro concepto, y se da el grado de aproximación de la representación del primer concepto mediante la representación del otro concepto.
Es decir, tenemos la transformación del significado mediante la transformación de una representación semiótica, como en el producto de términos algebraicos o las operaciones de integración o diferenciación; la conservación del significado de una representación semiótica mediante la suma de términos algebraicos o transformaciones de coordenadas, que sólo cambian la forma semiótica, y la aproximación de una representación semiótica de un concepto mediante la representación semiótica de otro concepto con un grado de aproximación de ambas representaciones semióticas o conceptos, como en los teoremas de aproximación de Taylor, de Bernstein o de Fourier. Todo esto puede parecer enredado y confuso pero nos permite ver todas las teorías matemáticas como teorías acerca de la representación semiótica de sus conceptos y de la transformación de esas representaciones semióticas y/o de sus significados:
A. Sin alterar el significado de la representación semiótica: suma de términos algebraicos; cambio de variable; transformación de coordenadas.
La Geometría Analítica es parte de una teoría general de la representación e invariancia de los conceptos matemáticos bajo transformaciones semióticas, que incluye la invariancia de un concepto matemático bajo una transformación de coordenadas.
B. Con alteración del significado de la representación semiótica: Aplicación de los operadores de integración y de diferenciación; producto de términos algebraicos.
C. Con un grado de aproximación de ambas representaciones semióticas. El grado de aproximación de las representaciones semióticas también es el grado de aproximación de los conceptos o significados: teoremas de Taylor, de Laurent, el teorema del residuo, de Bernstein, de Weierstrass, de Fourier.
Nos alejamos de la visión platónica de las matemáticas, afirmamos que las representaciones semióticas y los conceptos matemáticos involucrados son el mismo objeto. No creemos en la existencia de un mundo de formas matemáticas puras, sí creemos en la realidad física compleja que nos rodea y de la cual se extrae el concepto de número y sus tablas de multiplicar y de sumar. En todo caso, creemos que el concepto dado por cada signo matemático corresponde a una operación mental concreta, realizada por una red neuronal. De esta forma, deshacemos la paradoja de Duval (Duval, 1993) porque afirmamos que ésta se da porque se considera que existe un mundo platónico de los conceptos puros de las matemáticas, que produce una escisión entre el concepto matemático y su representante, escisión que no tiene sentido. Las matemáticas son una forma de razonamiento precisa porque el campo semántico de cada signo matemático es univaluado; a la inversa, el campo de representantes de un concepto matemático no es univaluado, puede haber una cantidad infinita no numerable o infinita numerable de representantes, como en el caso de los números racionales.
